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tiens ça devrait t'aider !:mf_bluesb
Présentation vulgarisée



On peut voir une fonction comme une transformation d'un objet en un autre objet. Ainsi, il y a des fonctions qui transforment les nombres en nombres (par exemple les polynômes, les fonctions trigonométriques...), des fonctions qui transforment des formes géométriques en formes géométriques (par exemple les rotations, translations, homothéties...), des fonctions qui transforment une forme géométrique en un nombre (par exemple la longueur d'un segment, l'aire délimitée par un polygone...).



Définitions

• Une fonction f d'un ensemble E dans un ensemble F, est la donnée d'une relation fonctionnelle Γ de E dans F. Γ est appelée le graphe de f; on note parfois Γf pour indiquer de quelle fonction on parle.
  

• On appelle domaine de définition de f, l'ensemble des éléments tels qu'il existe vérifiant . Le domaine de f est un sous-ensemble de E. Pour tout x dans le domaine de f, on note f(x) l'unique élément de F tel que .
  

• On appelle image de f, l'ensemble des éléments tels qu'il existe vérifiant f(x) = y. L'image de f (notée ) est un sous-ensemble de F.
  

• L'image d'un sous-ensemble E' de E par f, est: . C'est un sous-ensemble de F, et on a clairement: .
  

• L'image réciproque d'un sous-ensemble F' de F par f, est: ; où l'on sous-entend que si x n'est pas dans le domaine, le point n'est pas à considérer. C'est un sous-ensemble de E.
  

• Si une relation fonctionnelle est définie partout, c'est-à-dire si son domaine de définition est E tout entier, on dit que c'est une application de E dans F.
  

• On peut appliquer une fonction f en un point x de son ensemble de définition; le résultat est noté f(x), et est l'unique élément de l'image tel que .
  

Exemples

• L'identité d'un ensemble est l'application de l'ensemble dans lui-même, qui à chaque élément associe le même élément.
  
• Si E et F sont des ensembles non vides, et , on peut définir l'application constante égale à f de E dans F, par:
  

Restriction

Si est un sous-ensemble, et une fonction, on peut définir la restriction de f à G, comme étant la fonction de G dans F, de graphe: ; où là encore on sous-entend que l'on ne considère pas les x hors domaine. On la note: f | G.


Composition

La composition permet d'obtenir une troisième fonction à partir de deux autres, en les "appliquant" l'une après l'autre.


Soient et deux fonctions, leur fonction composée a pour graphe: (c'est bien la même composition que celle qui est définie pour les relations en général!)


En particulier, si x est dans l'ensemble de définition de , on a: .

Il faut noter que la composée de deux applications est une application, et la composée de deux fonctions une fonction; mais cette dernière composée peut avoir un domaine vide!

Injectivité

Une fonction est dite injective (ou que c'est une injection) lorsque .


Ce qui signifie que la fonction "distingue" les différents éléments de son domaine de définition.

La composée de deux injections est une injection, et si est une injection, alors f est une injection.

Surjectivité

Une fonction est dite surjective (ou que c'est une surjection) lorsque .


Autrement dit son image est l'ensemble d'arrivée tout entier, ce qui signifie que tout élément de l'ensemble d'arrivée peut être vu comme image d'un élément de l'espace de départ.

La composée de deux surjections est une surjection, et si est une surjection, alors g est une surjection.

Bijectivité

Une application est dite bijective (ou que c'est une bijection) lorsqu'elle est à la fois injective et surjective.


La notion de bijection ne s'applique pas à toute fonction!

L'intérêt de la bijection est qu' à tout élément de l'espace d'arrivée (antécédent), correspond exactement un élément de l'espace de départ (image - on dit donc qu'un antécédent admet une unique image par f); on peut définir une application f - 1 (à ne pas confondre avec l'inverse de la fonction) qui va "dans l'autre sens" (associant à toute image son unique antécédent), et telle que et soient les identités des espaces respectifs. f - 1 est aussi une bijection. La composée de deux bijections est une bijection, mais si la composée de deux applications est une bijection, on sait en général juste que l'une est une injection et l'autre une surjection.

L'analyse complexe est la branche des mathématiques recherchant sur les fonctions holomorphes, i.e. sur les fonctions qui sont définies sur un certain domaine du plan complexe, prenant des valeurs complexes, et qui sont dérivables en tant que fonctions complexes. La dérivabilité complexe a des conséquences beaucoup plus fortes que celle de la dérivabilité réelle. Par exemple, toute fonction holomorphe est développable en série entière dans tout disque ouvert inclus dans son domaine de définition, et est ainsi une fonction analytique. En particulier, les fonctions holomorphes sont indéfiniment dérivables, un résultat qui est loin d'être vrai pour les fonctions réelles dérivables. La plupart des fonctions élémentaires, telles que les fonctions polynomiales, la fonction exponentielle, et les fonctions trigonométriques, sont holomorphes.

Un outil puissant dans l'analyse complexe est l'intégrale curviligne. L'intégrale sur un chemin fermé, d'une fonction qui est holomorphe partout à l'intérieur du secteur délimité par le chemin fermé, est toujours nulle; c'est le théorème intégral de Cauchy. Les valeurs d'une fonction holomorphe à l'intérieur d'un disque, peuvent être calculées par une certaine intégrale curviligne sur le chemin formé par la frontière du disque (formule intégrale de Cauchy). Les intégrales sur un chemin dans le plan complexe sont souvent employées pour déterminer des intégrales compliquées, et c'est ici que la théorie des résidus intervient. Si une fonction a un pôle ou une singularité en un certain point, signifiant que ses valeurs «explosent» et qu'elle ne prend pas une valeur finie à cet endroit, alors nous pouvons définir le résidu de la fonction en ce pôle, et ces résidus peuvent être utilisés pour calculer des intégrales, suivant des chemins, impliquant la fonction; c'est le contenu du puissant théorème des résidus. Le comportement remarquable des fonctions holomorphes près des singularités essentielles est décrit par la théorème de Weierstrass-Casorati. Des fonctions qui n'ont seulement que des pôles et aucune singularité essentielle s'appellent des fonctions méromorphes. Les séries de Laurent sont semblables aux séries de Taylor mais peuvent être employées pour étudier le comportement des fonctions près des singularités.

Une fonction bornée et holomorphe dans le plan complexe tout entier, est nécessairement constante; c'est l'énoncé du théorème de Liouville. Il peut être utilisé pour fournir une preuve courte et naturelle du théorème fondamental de l'algèbre qui déclare que le corps des nombres complexes est algébriquement clos.

Une propriété importante des fonctions holomorphes est que si une fonction est holomorphe sur un domaine simplement connexe alors ses valeurs sont entièrement déterminées par ses valeurs sur n'importe quel sous-domaine plus petit. La fonction définie sur le domaine le plus grand est dite prolongée analytiquement à partir de ses valeurs sur le domaine plus petit. Ceci permet l'extension de la définition des fonctions telles que la fonction ζ de Riemann qui sont au départ définies en termes de sommes de séries qui convergent seulement sur des domaines limités, à presque tout le plan complexe. Parfois, comme dans le cas du logarithme naturel, il est impossible de prolonger analytiquement en une fonction holomorphe sur un domaine non simplement connexe dans le plan complexe, mais il est possible de la prolonger en une fonction holomorphe sur une surface étroitement liée, appelée surface de Riemann.

Il existe également une théorie très riche de l'analyse complexe des fonctions à plusieurs variables complexes dans laquelle les propriétés analytiques, comme le développement en série entière, restent toujours vraies tandis que la plupart des propriétés géométriques des fonctions holomorphes à une seule variable complexe (comme la représentation conforme) ne sont plus vérifiées. Le théorème de représentation de Riemann sur la conformité des relations entre certains domaines dans le plan complexe, qui est sans doute le résultat le plus important dans la théorie unidimensionnelle, échoue complètement dans des dimensions plus élevées.

L'analyse complexe est l'une des branches classiques des mathématiques qui pose ses fondations au XIXe siècle et un peu avant. Les bâtisseurs les plus importants de cette théorie sont les mathématiciens Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass; de nombreux autres du XXe siècle vinrent apporter leur pierre. Traditionnellement, l'analyse complexe, en particulier la théorie des représentations conformes, a beaucoup d'applications en technologie, mais elle est également employée dans la théorie analytique des nombres. Dans les temps modernes, elle est devenue très populaire par une nouvelle poussée de la dynamique complexe et des images fractales produites le plus souvent en réitérant des fonctions holomorphes, la plus populaire étant l'ensemble de Mandelbrot. Une autre application importante de l'analyse complexe aujourd'hui est la théorie des cordes qui un invariant conforme de la théorie quantique des champs.

Ayons une pensée pour Bazon qui vit ça tous les jours

Remarque il est bien ce bug avec les carrés quand tu fais un copié collé ça permet de voir ce genre de post j'immagine balancé sur tous les forums du coin

我一点看不懂, 写中文好玩的多

euhhh c'est gentil mais la leçon je l'ai déja mais comme j'ai un niveau catastrophique j'ai bo avoir la leçon ça ne m'aide pas du tout

Tu t'es inscris uniquement pour ça ?

Y'a des forums spécialisés sur ça il me semble (enfin ils n'aiment pas trop que les gens demandent des solutions, plutôt des explications...).

a bon alors donne moi les forums

En plus c'est pas dur comme exo...

Om Magic, tu dois utiliser la méthode d'approximation Newton-Raphson pour cet exo. Envoie un MP à ZERO, le mathématicien. Si je peux me permettre, ce n'est pas trop le lieu pour ce genre de questions. Si ça continue, le :boulet va bientôt être rempli. :mf_laughb

Vu l'énoncé, ça doit être niveau seconde...
Tu dois t'interroger sur ton avenir en ce moment: S, Eco, filières techniques...

Un petit conseil, va en L
C'est sympa, y'a pas de maths et c'est gavé de filles :smoke1:
Allez, un petit avant-goût

voici venu le temps de l'élection des boulets ! bienvenue boulet de bronze ! voir statut ! votez, il y en aura pas pour tout le monde !!! :mf_farmer

boeuf mode a écrit :voici venu le temps de l'élection des boulets ! bienvenue boulet de bronze ! voir statut ! votez, il y en aura pas pour tout le monde !!! :mf_farmer

à non je conteste j'ai des preuves que je peux etre, LE VRAI , LE GRAND ,LE MAGNIFIQUE BOULET DE BRONZE !!!!!!!!!

pas question, canto, tu mérites l'or !!! :mf_napole

boeuf mode a écrit :pas question, canto, tu mérites l'or !!! :mf_napole

en fait boeuf mode il est facile à cuisiner !!!!!!:mf_dribbl

je l'ai croyais beaucoup plus sympa les supporters Marseillais mais non en faîte ils ont raisons les autres clubs, a oui car au fait je suis pour l'aja!!!