Problème de Proba

[Old Trafford]

Un petit problème de logique pour vous (en particulier pour les amateurs de jeux de hasard) :


Une partie de pile-ou-face avec Blaise Pascal

Jouer à pile-ou-face, c'est facile ! Mais quand deux mathématiciens de génie jouent ensemble, le résultat devient assez énigmatique. Seriez-vous capable de touver la solution d'un problème logique résolu par Pascal lui-même ?

Nous sommes en juillet 1654 à Paris. Selon la légende, Blaise Pascal et son ami Pierre de Fermat, tous deux mathématiciens éminents, se sont mis en tête de percer le mystère des jeux de hasard. Pour se faire, ils s'adonnent au jeu le plus simpliste qui soit, le "pile-ou-face". Fermat marque un point à chaque fois que la pièce tombe sur face et Pascal marque un point à chaque fois que la pièce tombe sur pile. Ils ont mis chacun 50 deniers sur la table et le premier qui arrivera à 10 points empochera la mise commune de 100 deniers.

La légende raconte qu'au cours de la partie, un évènement inattendu se produit : un messager vient alerter Fermat que l'un de ses amis est très malade à Toulouse et qu'il requiert la présence immédiate de Fermat à son chevet. Fermat n'hésite pas une seconde et quitte la table sans tarder abandonnant la partie sur un score de 8 à 7 en sa faveur. Plusieurs semaines plus tard, au cours d'une correspondance entre les deux amis, la question de cette partie inachevée resurgit.

Par un raisonnement particulièrement logique, Fermat propose une solution à Pascal qui, en la validant, va en profiter pour rédiger les fondements mathématiques de la théorie moderne des probabilités. Leur solution collective va permettre, pour la première fois, de prévoir l?avenir grâce à la manipulation de nombres, et donc de prendre des décisions même lorsque l'avenir est incertain.

Alors, maintenant à vous ! Etes-vous en mesure de raisonner comme eux et de trouver une solution à cette énigme. Si oui, même 350 ans plus tard, vous êtes certainement de la graine de génie. Voici la question : Comment répartir les 100 deniers entre les deux joueurs sachant que :
- le score est de 8 à 7 en faveur de Fermat ;
- le premier arrivé à 10 a gagné.



Solution : demain soir. (J'en profite pour vous signaler l'arrivée de ZERO, éminent mathématicien de la toile, sur le forum.) :mf_bluesb

[DuKefeng]

50 deniers chacun, ni vainqueur, ni vaincu!

[Old Trafford]

Non, ce n'est pas 50-50. Une indication : il faut imaginer les solutions possibles pour qu'un des deux arrive à 10 en premier et appliquer des proba par la suite pour connaître la répartition (enfin, c'est plus qu'une indication...).

[LXhere]

simple :

Soit , qui est aussi une mesure -finie . On a et pour tout , donc il existe deux fonctions et à valeurs dans telles que et , en vertu du lemme ci-dessus sur répond à la question.
D'abord, , puisque , donc puisque est absolument continue par rapport à . Donc si , la proposition 3- implique:
:smoke1:

[Old Trafford]

J'attendais mieux d'un champion des pronos, LX-Here. :thumbdown

[LXhere]

J'attendais mieux d'un champion des pronos, LX-Here. :thumbdown

bon ok :
60 pessos pour fermat
40 yen pour Blaise ( il était pas dans " la classe" lui? une émission sur Fr3 à 20h00 il y à 15 ans...)

[Old Trafford]

:mf_dribbl Tu es proche de la réponse. Si vous trouvez, il faut aussi dire comment vous arrivez à la solution. :mf_farmer

[pixie]

:mf_dribbl Oh j'aime pas ça, le mal de tronche que ça m'a mis

[LXhere]

Bon Fermat a besoin de deux points et blaise de trois points. il suffit donc de 4 tours pour finir la partie, soit 4² =16 chances pour les deux tordus.
sur les 16 il y a 5 chance que blaise gagne.
il y en a 1 qui recevra 11/16 des 100 deniers et l'autre aura le reste ainsi qu'un bisou de consollation.
:mf_doctor j'ai encore des restes de proba...et merci google surtout.

[Old Trafford]

:mf_dribbl Oh j'aime pas ça, le mal de tronche que ça m'a mis

Oui, mais la récompense mérite bien un petit effort :

Etes-vous en mesure de raisonner comme eux et de trouver une solution à cette énigme. Si oui, même 350 ans plus tard, vous êtes certainement de la graine de génie.

[Old Trafford]

Bon Fermat a besoin de deux points et blaise de trois points. il suffit donc de 4 tours pour finir la partie, soit 4² =16 chances pour les deux tordus.
sur les 16 il y a 5 chance que blaise gagne.
il y en a 1 qui recevra 11/16 des 100 deniers et l'autre aura le reste ainsi qu'un bisou de consollation.
:mf_doctor j'ai encore des restes de proba...et merci google surtout.

Trîcheur va. C'est bien la réponse. Mais, les explications ne sont pas claires, notamment pourquoi il y a 16 chances et pourquoi il y a 5 chances sur 16 que Pascal gagne. Réponse rejetée donc.

[Old Trafford]

Bon, je donne la solution :

La solution

Pour répartir les 100 francs, Fermat propose (*) à Pascal : "Pour gagner la partie, je n'avais besoin que de deux points et vous aviez besoin de trois points, Donc on peut établir qu'après quatre lancers de pièce supplémentaires, la partie aurait été terminée. Au bout de quatre lancers, si vous n'aviez pas obtenu 3 "pile", cela aurait signifié que j'aurais obtenu les 2 "face" qui me manquaient. Selon le même raisonnement, si je n'avais pas obtenu au moins 2 "face", cela aurait signifié que vous auriez obtenu au moins 3 "pile".

En conséquence de quoi, il n'y avait en tout et pour tout que 16 fins possibles à cette partie (j'utilise "P" pour "pile" et "F" pour "face"). Les voici listées :
F F F F -- F F F P -- F F P F -- F F P P
F P F F -- F P F P -- F P P F -- F P P P
P F F F -- P F F P -- P F P F -- P F P P
P P F F -- P P F P -- P P P F -- P P P P

Vous admettrez sans doute que ces 16 combinaisons sont aussi probables les unes que les autres donc toutes celles où figurent 3 "pile" sont à porter à votre crédit et toutes les autres sont à porter au mien. Vous aviez donc 5 chances sur 16 de gagner et j'avais 11 chances sur 16 de l'emporter. Je devrais recevoir 11/16 des 100 deniers (68,75 deniers) et vous devriez recevoir 31,25 deniers".

Ce à quoi Pascal répond : "Votre solution est satisfaisante en effet et vous trouverez, dans cette lettre, l'argent que je vous dois. Inspiré par votre raisonnement, j'ai réléchi plus sérieusement à ce problème. J'ai alors réalisé que si, par hasard, nous avions dû prévoir la distribution d'un plus grand nombre de points entre les deux joueurs, votre méthode d'écriture serait devenue laborieuse."
A la suite de quoi, Pascal propose à son ami l'équation fondatrice de la théorie moderne des probabilités...

[Campana]

Ouaip, mais concrètement, on ne peut avoir que 10 fins possibles, six à l'avatange de Fermat et quatre pour Blaise (60/40, Elixir avait raison !)

F-F (victoire de Fermat)
F-P-F (Fermat)
F-P-P-F (Fermat)
F-P-P-P (Blaise)
P-F-F (Fermat)
P-F-P-F (Fermat)
P-F-P-P (Blaise)
P-P-F-F (Fermat)
P-P-F-P (Blaise)
P-P-P (Blaise)

donc Blaise Pascal est un imposteur :smoke1:

[Old Trafford]

Elixir a trîché, il est disqualifié d'office. En plus, il n'a donné aucune explication. :angel_not

L'objection n'est pas retenue : c'est une solution théorique, car ils ne peuvent jouer pour déterminer le vainqueur. Et, en théorie, il faut 4 tours au maximum pour dégager un vainqueur, donc, 16 possibilités. Il est vrai que 6 des possibilités sont "superflues" (exemple, FFFF ou PPPP), car elles appartiennent au domaine théorique (et ne relèvent donc pas du concret). :smoke1:

[Campana]

Je ne suis pas mathématicien mais à partir du moment où six possibilités sur seize n'ont pas lieu d'être puisque de l'ordre du virtuel, je ne vois pas pourquoi il faudrait en tenir compte !

donc Blaise Pascal est coupable, CQFD

[Old Trafford]

Si pour toi, une possibilité théorique qui est aussi une impossibilité pratique est de l'ordre du virtuel, on est d'accord.

[Campana]

Tope la, Stade Mancunien

[Erby Kezako]

Puisque Fermat a 8 et Pascal a 7, Fermat a droit (8+7=15) à 8/15ème des 100 deniers et Pascal à 7/15ème....

Ils empruntent 1 denier à un spectateur....

Fermat a donc : 101 x 8/15 = 53 et des "brouettes" après la virgule
Pascal a donc : 101 x 7/15 = 47 et des "brouettes" après la virgule

53+47= 100.... et ils rendent le denier emprunté au spectateur. Des "brouettes" + des "brouettes" = 1 denier

CQFD

[ZERO]

Je ne suis pas mathématicien mais à partir du moment où six possibilités sur seize n'ont pas lieu d'être puisque de l'ordre du virtuel, je ne vois pas pourquoi il faudrait en tenir compte !

donc Blaise Pascal est coupable, CQFD

Très bonne remarque Maitre Campana. Parfois, dans des cas simples, la logique "mathématique" se heurte à la pratique. Le raisonnement de départ reste vrai bien que purement théorique. Une méthode plus aboutie de résoluion du problème consisterait à rajouter un "test d'arret" du jeu. A savoir 3 piles ou 2 faces d'affilée entrainent la fin de la partie. Dans ce cas, c'est pratiquement de la modélisation de problème réel.

[ZERO]

Sympathique initiative, ce topic Oldy. J'emboîte le pas :

Il s'agit de rajouter un trait (ou une allumette, comme vous préférez) afin d'obtenir une égalité juste.



Je ramasse les copies ce soir.